Tại một vị trí cụ thể ở núi Bà Đen người ta đặt cố định một hệ trục tọa độ $O x y z$, mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 mét. Một người đứng cố định tại vị trí $B(2 ; 0 ;-1)$, quan sát một chiếc cabin cáp treo và thấy rằng cabin này xuất phát từ điểm $A(-1 ; 4 ; 3)$, chuyển động thẳng đều theo
hướng của vectơ $\vec{u}(1 ; 2 ;-2)$ với vận tốc 6 mét/giây. Hỏi sau 5 giây kể từ lúc xuất phát, khoảng cách giữa cabin và người quan sát bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Một đường cáp điện được kéo từ một trạm điện $A$ ở một bên sông rộng 900 mét đến một nhà máy $B$ ở bờ bên kia của sông, nhà máy cách trạm điện 3000 mét tính xuôi theo bờ sông. Đường cáp này được mô hình hóa thành đường gấp khúc $A P B$ như hình vẽ, trong đó đoạn $P B$ đặt trên bờ sông. Giả định rằng tỉ lệ giữa chi phí để kéo 1 mét cáp dưới nước và chi phí kéo 1 mét cáp trên bờ sông bằng 1,25 . Hỏi để tiết kiệm chi phí nhất thì vị trí $P$ cách nhà máy $B$ bao nhiêu mét?

Cho hàm số bậc ba $y=a x^{3}+b x^{2}+c$ có đồ thị $(C)$. Biết $(C)$ đi qua điểm $A(-2 ; 2)$ và nhận điểm $B(2 ; 3)$ làm điểm cực trị. Giá trị của $T=a+b+c$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một người quản lý ở một trang trại nuôi cá xác định rằng: Sau $t$ tháng kể từ khi thả 300 con cá X (với $0 \leq t \leq 10$ ) thì khói lượng trung bình $m(t)$ tính theo kilogram của một con cá X ước tính là $m(t)=0,45\left(0,2+\frac{141}{155} t-0,05 t^{2}\right)$. Người này cũng nhận định tỉ lệ giữa số lượng cá X còn sống trong ao so với số lượng cá $X$ thả ban đầu sau $t$ tháng kể từ ngày thả là $p(t)=\frac{31}{31+t}$. Biết rằng sản lượng cá $X$ tại một thời điểm được tính bằng tổng khối lượng của các con cá $X$ đã thả còn sống trong ao lúc đó. Hỏi với những nhận định trên của người quản lý thì dự kiến trong tối đa 10 tháng nuôi, sản lượng cá X lớn nhất có thể đạt được là bao nhiêu (kết quả tính theo đơn vị kilogram)?

Một chất điểm $M$ chuyển động trên một đường thẳng đi qua $O$. Để khảo sát chuyển động của $M$ người ta gắn trên đường thẳng đó một trục tọa độ là $O x$ với $O$ là điểm gốc, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với độ dài 1 mét. Xét trong 12 giây đầu tiên, tọa độ $x(t)$ của $M$ tại thời điểm $t$ giây kể từ lúc bắt đầu khảo sát được cho bởi công thức $x(t)=-\frac{t^{3}}{3}+6 t^{2}+4$.
a) Ban đầu $M$ ở vị trí cách $O$ một khoảng cách bằng 6 mét.
b) Vận tốc tức thời của $M$ tại thời điểm $t$ giây $(0 \leq t \leq 2)$ là $v(t)=-t^{2}+12 t$ (mét/giây).
c) Trong suốt 6 giây đầu tiên, vận tốc tức thời của $M$ luôn tăng.
d) Xét trong 12 giây đầu tiên, tính từ lúc bắt đầu khảo sát đến lúc $M$ có vận tốc tức thời lớn nhất thì $M$ đi được một quãng đường dài 148 mét.

Cho tứ diện đều $A B C D$ có độ dài mỗi cạnh bằng 2 . Giá trị của $\overrightarrow{D A} \cdot \overrightarrow{D B}$ bằng:
A. $2 \sqrt{3}$
B. $-2 \sqrt{3}$
C. -2
D. 2