Một đường cáp điện được kéo từ một trạm điện $A$ ở một bên sông rộng 900 mét đến một nhà máy $B$ ở bờ bên kia của sông, nhà máy cách trạm điện 3000 mét tính xuôi theo bờ sông. Đường cáp này được mô hình hóa thành đường gấp khúc $A P B$ như hình vẽ, trong đó đoạn $P B$ đặt trên bờ sông. Giả định rằng tỉ lệ giữa chi phí để kéo 1 mét cáp dưới nước và chi phí kéo 1 mét cáp trên bờ sông bằng 1,25 . Hỏi để tiết kiệm chi phí nhất thì vị trí $P$ cách nhà máy $B$ bao nhiêu mét?

Cho hàm số bậc ba $y=a x^{3}+b x^{2}+c$ có đồ thị $(C)$. Biết $(C)$ đi qua điểm $A(-2 ; 2)$ và nhận điểm $B(2 ; 3)$ làm điểm cực trị. Giá trị của $T=a+b+c$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Tại một vị trí cụ thể ở núi Bà Đen người ta đặt cố định một hệ trục tọa độ $O x y z$, mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 mét. Một người đứng cố định tại vị trí $B(2 ; 0 ;-1)$, quan sát một chiếc cabin cáp treo và thấy rằng cabin này xuất phát từ điểm $A(-1 ; 4 ; 3)$, chuyển động thẳng đều theo
hướng của vectơ $\vec{u}(1 ; 2 ;-2)$ với vận tốc 6 mét/giây. Hỏi sau 5 giây kể từ lúc xuất phát, khoảng cách giữa cabin và người quan sát bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Một người quản lý ở một trang trại nuôi cá xác định rằng: Sau $t$ tháng kể từ khi thả 300 con cá X (với $0 \leq t \leq 10$ ) thì khói lượng trung bình $m(t)$ tính theo kilogram của một con cá X ước tính là $m(t)=0,45\left(0,2+\frac{141}{155} t-0,05 t^{2}\right)$. Người này cũng nhận định tỉ lệ giữa số lượng cá X còn sống trong ao so với số lượng cá $X$ thả ban đầu sau $t$ tháng kể từ ngày thả là $p(t)=\frac{31}{31+t}$. Biết rằng sản lượng cá $X$ tại một thời điểm được tính bằng tổng khối lượng của các con cá $X$ đã thả còn sống trong ao lúc đó. Hỏi với những nhận định trên của người quản lý thì dự kiến trong tối đa 10 tháng nuôi, sản lượng cá X lớn nhất có thể đạt được là bao nhiêu (kết quả tính theo đơn vị kilogram)?

Một chất điểm $M$ chuyển động trên một đường thẳng đi qua $O$. Để khảo sát chuyển động của $M$ người ta gắn trên đường thẳng đó một trục tọa độ là $O x$ với $O$ là điểm gốc, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với độ dài 1 mét. Xét trong 12 giây đầu tiên, tọa độ $x(t)$ của $M$ tại thời điểm $t$ giây kể từ lúc bắt đầu khảo sát được cho bởi công thức $x(t)=-\frac{t^{3}}{3}+6 t^{2}+4$.
a) Ban đầu $M$ ở vị trí cách $O$ một khoảng cách bằng 6 mét.
b) Vận tốc tức thời của $M$ tại thời điểm $t$ giây $(0 \leq t \leq 2)$ là $v(t)=-t^{2}+12 t$ (mét/giây).
c) Trong suốt 6 giây đầu tiên, vận tốc tức thời của $M$ luôn tăng.
d) Xét trong 12 giây đầu tiên, tính từ lúc bắt đầu khảo sát đến lúc $M$ có vận tốc tức thời lớn nhất thì $M$ đi được một quãng đường dài 148 mét.

Cho tứ diện đều $A B C D$ có độ dài mỗi cạnh bằng 2 . Giá trị của $\overrightarrow{D A} \cdot \overrightarrow{D B}$ bằng:
A. $2 \sqrt{3}$
B. $-2 \sqrt{3}$
C. -2
D. 2