Một hộp chứa 10 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. Bạn An lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp, xem màu, rồi bỏ ra ngoài. Nếu viên bi An lấy ra có màu xanh, bạn Bình sẽ lấy ra ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp; còn nếu viên bi An lấy ra có màu đỏ, bạn Bình sẽ lấy ra ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Tính xác suất để An lấy được viên bi màu xanh, biết rằng tất cả các viên bi được hai bạn chọn ra đều có đủ cả hai màu.

Một bể cá đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật $A B C D . E F G H$ với $A B=6(\mathrm{dm})$, $A D=8(\mathrm{dm})$ và cạnh bên bằng $10(\mathrm{dm})$. Một chú cá con bơi theo những đoạn thẳng từ điểm $G$ đến chạm mặt đáy của hồ, rồi từ điểm đó boi đến vị trí điểm $M$ là trung điểm của $A F$ được mô hình hóa như hình vẽ sau:

Để đường đi ngắn nhất thì chú cá boi đến điểm đưới đáy hồ cách $B A$ và $B C$ những đoạn bằng $a$ và $b$. Khi đó tổng $\mathscr{D}=3 a+6 b$ bao nhiêu ?

Xác suất để công ty $X$ thuê một trong hai công ty vệ tinh $A$ và $B$ tư vấn lần lượt là 0,4 và 0,6 . Theo kinh nghiệm khả năng $X$ phát sinh thêm chi phí khi sử dụng dịch vụ tư vấn của công ty $A$ và $B$ lần lượt là 0,05 và 0,03 .
a) Xác suất để $X$ có phát sinh thêm chi phí khi sử dụng dịch vụ tư vấn là 0,038 .
b) Biết $X$ có phát sinh thêm chi phí khi sử dụng dịch vụ tư vấn. Xác suất để $X$ thuê công ty $A$ tư vấn là 0,4737 .
c) Biết $X$ có phát sinh thêm chi phí khi sử dụng dịch vụ tư vấn. Xác suất để $X$ thuê công ty $B$ tư vấn là 0,5263 .
d) Biết $X$ không phát sinh thêm chi phí khi sử dụng dịch vụ tư vấn. Xác suất để $X$ thuê công ty $A$ tư vấn là 0,395 .

Một đoàn tàu đang đứng yên trong sân ga, ngay trước đầu tàu có một cái cây. Đoàn tàu khởi hành từ trạng thái đứng yên với gia tốc $a=0,005 t\left(\mathrm{~m} / \mathrm{s}^2\right)$ và đi qua cái cây trong thời gian 60 giây. Sau 80 giây đoàn tàu chuyển sang trạng thái chuyển động đều.

a) Vận tốc của đoàn tàu là $v=5 \times 10^{-8} t^2(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$.
b) Chiều dài của đoàn tàu là $\ell=180(\mathrm{~m})$.
c) Sau 80 giây, đoàn tàu chuyển động với tốc tốc $57,6(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$.
d) Sau khi chuyển động đều một thời gian, đoàn tàu gặp một cây cầu có chiều dài $480(\mathrm{~m})$. Khi đó đoàn tàu đi qua cây cầu đó trong thời gian 30 giây.

Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10 ; 3 ; 0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có véctơ chỉ phương là $\vec{u}=(2 ;-2 ; 1)$ với tốc độ là $4,5(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$ (đ̛on vị trên mỗi truc tọa ảộ là mét) được mô hình hóa như các hình vẽ sau:

a) Phương trình chính tắc của đường cáp là $\frac{x-10}{2}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z}{1}$.
b) Giả sử sau $t$ giây kể từ lúc xuất phát $(t \geq 0)$, cabin đến vị trí điểm $M$. Khi đó tọa độ của điểm $M$ là $\left(3 t+10 ;-3 t+3 ; \frac{3 t}{2}\right)$.
c) Cabin dìnng ở điểm $B$ có hoành độ $x_B=550$. Quãng đường $A B$ có độ dài bằng $810(\mathrm{~m})$ (làm tròn kêt quả đến hàng đàon vị của mét).
d) Đường cáp $A B$ tạo với mặt ( $O x y)$ một góc $22^{\circ}$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).