I. Tổng quan lý thuyết

1. Công thức Taylor
    
    - Cho hàm số  $f$ có đạo hàm cấp $n+1$ trong khoảng $\left( a,b \right)$. Khi đó, với mọi $x\in \left( a,b \right)$, ta có:
    
    $f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)+\frac{{f}'\left( {{x}_{0}} \right)}{1!}.\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{f}''\left( {{x}_{0}} \right)}{2!}.{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+.....+\frac{{{f}^{\left( n \right)}}\left( {{x}_{0}} \right)}{n!}.{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{n}}+R\left( x \right)$
    
    Trong đó: $R\left( x \right)$ là phần dư.
    
    + Phần dư Lagrange: $R\left( x \right)=\frac{{{f}^{\left( n+1 \right)}}\left( c \right)}{\left( n+1 \right)!}.{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{n+1}}$ với c là số nằm giữa x và ${{x}_{0}}$.
    
    + Phần dư Peano: $R\left( x \right)=o\left[ {{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{n}} \right]$ khi x gần ${{x}_{0}}$
    
2. Khai triển Maclaurin
    
    - Trong công thức Taylor ở trên, với ${{x}_{0}}=0$, ta có khai triển Maclaurin:
    
    $f\left( x \right)=f\left( 0 \right)+\frac{{f}'\left( 0 \right)}{1!}.x+\frac{{f}''\left( 0 \right)}{2!}.{{x}^{2}}+.....+\frac{{{f}^{\left( n \right)}}\left( 0 \right)}{n!}.{{x}^{n}}+o\left( {{x}^{n}} \right)$
    
    - Một số khai triển Maclaurin quan trọng:
    
    (1) ${{\left( 1+x \right)}^{\alpha }}=1+\alpha{x} +\frac{\alpha \left( \alpha -1 \right)}{2}.{{x}^{2}}+......+\frac{\alpha \left( \alpha -1 \right).....\left( \alpha -n+1 \right)}{n!}.{{x}^{n}}+o\left( {{x}^{n}} \right)$
    
    (2) $\frac{1}{1+x}=1-x+{{x}^{2}}-......+{{\left( -1 \right)}^{n}}{{x}^{n}}+o\left( {{x}^{n}} \right)$
    
    (3) $\frac{1}{1-x}=1+x+{{x}^{2}}+.....+{{x}^{n}}+o\left( {{x}^{n}} \right)$
    
    (4) ${{e}^{x}}=1+x+\frac{{{x}^{2}}}{2!}+.....+\frac{{{x}^{n}}}{n!}+o\left( {{x}^{n}} \right)$
    
    (5) $\sin x=x-\frac{{{x}^{3}}}{3!}+\frac{{{x}^{5}}}{5!}+....+{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{{{x}^{2n+1}}}{\left( 2n+1 \right)!}+o\left( {{x}^{2n+1}} \right)$
    
    (6) $\cos x=1-\frac{{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{{x}^{4}}}{4!}+.....+{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{{{x}^{2n}}}{\left( 2n \right)!}+o\left( {{x}^{2n}} \right)$
    
    (7) $\ln \left( 1+x \right)=x-\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{3}}}{3}+.....+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o\left( {{x}^{n}} \right)$
    
    - Nếu $u\left( x \right)$ là vô cùng bé khi $x\to {{x}_{0}}$, ta được phép dùng khai triển Maclaurin với $u\left( x \right)$.
    
    - Ứng dụng: tính gần đúng, tính giới hạn, tính đạo hàm cấp cao.