Hàm mật độ xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục 

$(X,Y)$ có dạng $f_{X, Y}(x, y)= \begin{cases}k(x-y) & 0<y<x<1 \\ 0 & \text { nếu trái lại}\end{cases}$

a) Tìm hằng số $k$.

b) Tính $E\left( Y|X=x \right)$, kỳ vọng có điều kiện của $Y$ với điều kiện $X=x;0<x<1$.

Một vùng có tỉ lệ người mắc bệnh sốt xuất huyết là 5%.

a) Tính xác suất trong 10 người bất kỳ được kiểm tra có ít nhất 2 người bị mắc bệnh sốt xuất huyết.

b) Biết rằng trong 10 người được kiểm tra có người bị mắc bệnh sốt xuất huyết, tính xác suất trong đó có đúng 2 người bị mắc bệnh này.

c) Cần chọn ra ít nhất bao nhiêu người để xác suất trong số họ có người bị mắc bệnh sốt xuất huyết không nhỏ hơn 99%.

Có hai lô hàng I và II, mỗi lô chứa rất nhiều sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm loại A có trong hai lô I và II lần lượt là 70% và 80%. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm.

a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I nhiều hơn số sản phẩm loại A lấy từ lô II.

b) Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 4 sản phẩm được lấy ra. Tìm kỳ vọng và phương sai của X.

Nhà trường muốn đánh giá số giờ tự học của sinh viên trong tuần. Một mẫu sinh viên được chọn ngẫu nhiên và nhận được kết quả như sau:

a) Với độ tin cậy 99% hãy xác định khoảng tin cậy cho thời gian tự học trung bình của sinh viên trường đang xét.

b) Sinh viên tự học trong tuần từ 8 giờ trở lên được đánh giá là chăm học. Xác định tỷ lệ sinh viên chăm học tối đa của trường đang xét với độ tin cậy 99%.

Có hai hộp đựng bóng đèn cùng loại. Hộp I có 6 bóng đèn đỏ, 4 bóng đèn xanh; hộp II có 7 bóng đèn đỏ, 3 bóng đèn xanh.

a) Từ mỗi hộp lấy ra 1 bóng đèn. Tính xác suất 2 bóng đèn được lấy ra là cùng màu.

b) Lấy ngẫu nhiên một hộp, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 2 bóng đèn. Tính xác suất lấy được 2 bóng đèn cùng màu.

Cho biến ngẫu nhiên $\text{W}$ có phân phối nhị thức với tham số $n=30$ và $p=0,5$.

a) Tính $E\left( \text{W} \right)$ và $E\left( {{\text{W}}^{2}} \right)$.

b) Tính $P\left( 14<\text{W}<18 \right)$ bằng công thức chính xác và công thức xấp xỉ.