Cho biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục $(U, V)$ có hàm mật độ xác suất là:
$f(u, v)=\left\{\begin{array}{lc}
k u^2 v, & \text { nếu } 0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq 1, \\
0, & \text { nếu trái lại. }
\end{array}\right.$
a) Tìm hằng số $k$.
b) Tính $P\left(\max (U, V) \leq \frac{2}{3}\right)$.

Cho biến ngẫu nhiên hai chiều $(X, Y)$ có hàm mật độ xác suất là

$f_{X, Y}(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{x}, & \text { nếu } 0<y<x<1, \\ 0, & \text { nếu trái lại. }\end{cases}$

(a) Tìm các hàm mật độ xác suất của $X$ và $Y$. (b) Tìm các hàm mật độ xác suất có điều kiện $f_X(x \mid y)$ và $f_Y(y \mid x)$.

Cho biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc $(X, Y)$ có bảng phân phối xác như sau:

(a) Chứng minh rằng $X$ và $Y$ dộc lập. (b) Tìm quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên $Z=X Y$. (c) Tính $E(Z)$ bằng hai cách và kiểm tra $E(Z)=E(X) E(Y)$.

Cho $U$ và $V$ là hai biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập với nhau và có cùng phân phối đều trên [10;30].
a) Tìm hàm mật độ xác suất đồng thời $f_{U, V}(u, v)$ của biến ngẫu nhiên hai chiều $(U, V)$.
b) Tính $P(|U-V|<10)$

Cho biến ngẫu nhiên $(X, Y)$ có bảng phân phối xác suất đồng thời như sau:
\[
\begin{array}{c|cccc}
Y \backslash X & 1 & 3 & 4 & 8 \\
\hline
3 & 0.15 & 0.10 & 0.25 & 0.04 \\
6 & 0.30 & 0.06 & 0.03 & 0.07 \\
\end{array}
\]
a) Tính kỳ vong và phương sai của $X$.
b) Tính kỳ vọng của $X$ khi biết $Y=3$.

Cho biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc $(X, Y)$ có bảng phân phối xác suất là
 

(a) Tìm ma trận hiệp phương sai của $(X, Y)$. (b) Tìm hệ số tương quan $\rho_{X, Y}$.