Đăng nhập Đăng ký

ID: 34796

Nhận biết (M1)
Cho ma trận $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Xét tính đúng/sai của những khẳng định sau:

Phát biểu Đúng Sai
Ma trận $\displaystyle A^{10} = \begin{pmatrix} 1 & 20 & 210 \\ 0 & 1 & 20 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
Ma trận nghịch đảo $\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
Tổng ma trận $\displaystyle S = A + A^2 + \dots + A^{10}$ có phần tử ở hàng 1, cột 3 bằng $\displaystyle 825$ .
Ma trận $\displaystyle (A - I)^2 = O$ (với $\displaystyle I$ là ma trận đơn vị và $\displaystyle O$ là ma trận không).
Giải thích đáp án:
Đặt $\displaystyle N = A - I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ và $\displaystyle N^k = O$ với mọi $\displaystyle k \ge 3$ .
Với mọi $\displaystyle n \ge 1$ , khai triển Nhị thức Newton ta có:
$\displaystyle A^n = (I + N)^n = I + nN + \frac{n(n-1)}{2}N^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2n & 2n^2 + n \\ 0 & 1 & 2n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
Với $\displaystyle n = 10 \Rightarrow A^{10} = \begin{pmatrix} 1 & 20 & 2(10)^2 + 10 \\ 0 & 1 & 20 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 20 & 210 \\ 0 & 1 & 20 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow$ A đúng.
Do $\displaystyle N^3 = O \Rightarrow A^{-1} = (I + N)^{-1} = I - N + N^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow$ B sai.
Phần tử ở hàng 1, cột 3 của $\displaystyle S = \sum_{k=1}^{10} A^k$ là:
$\displaystyle S_{13} = \sum_{k=1}^{10} (2k^2 + k) = 2 \sum_{k=1}^{10} k^2 + \sum_{k=1}^{10} k = 2 \cdot 385 + 55 = 825 \Rightarrow$ C đúng.
Ta có $\displaystyle (A - I)^2 = N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq O \Rightarrow$ D sai.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi