Đăng nhập Đăng ký

ID: 34795

Nhận biết (M1)
Trên tập hợp số phức $\displaystyle \mathbb{C}$ , xét phương trình $\displaystyle z^2 + 2\bar{z} = 0 \quad (*)$ . Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Phát biểu Đúng Sai
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Tổng các nghiệm của phương trình bằng $\displaystyle 2$ .
Các điểm biểu diễn các nghiệm khác $\displaystyle 0$ của phương trình lập thành một tam giác đều.
Có đúng hai nghiệm của phương trình có môđun bằng $\displaystyle 2$ .
Tích tất cả các nghiệm của phương trình bằng $\displaystyle 0$ .
Giải thích đáp án:
Đặt $\displaystyle z = x + yi \ (x, y \in \mathbb{R}) \Rightarrow \bar{z} = x - yi$ .
Ta có: $\displaystyle z^2 + 2\bar{z} = 0 \Leftrightarrow (x^2 - y^2 + 2xy i) + 2(x - yi) = 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow (x^2 - y^2 + 2x) + 2y(x - 1)i = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 - y^2 + 2x = 0 \\ 2y(x - 1) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 0 \Rightarrow x^2 + 2x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow z_1 = 0 \\ x = -2 \Rightarrow z_2 = -2 \end{array} \right. \\ x = 1 \Rightarrow 3 - y^2 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} y = \sqrt{3} \Rightarrow z_3 = 1 + \sqrt{3}i \\ y = -\sqrt{3} \Rightarrow z_4 = 1 - \sqrt{3}i \end{array} \right. \end{array} \right.$
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt $\displaystyle z_1 = 0, z_2 = -2, z_3 = 1 + \sqrt{3}i, z_4 = 1 - \sqrt{3}i \Rightarrow$ A đúng.
Tổng các nghiệm: $\displaystyle z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = 0 + (-2) + (1 + \sqrt{3}i) + (1 - \sqrt{3}i) = 0 \neq 2 \Rightarrow$ B sai.
Ba điểm biểu diễn các nghiệm khác $\displaystyle 0$ là $\displaystyle M_1(-2; 0), M_2(1; \sqrt{3}), M_3(1; -\sqrt{3})$ có $\displaystyle M_1M_2 = M_1M_3 = M_2M_3 = 2\sqrt{3}$ nên tạo thành tam giác đều $\displaystyle \Rightarrow$ C đúng.
Môđun các nghiệm: $\displaystyle \vert{}z_1\vert{} = 0$ , $\displaystyle \vert{}z_2\vert{} = \vert{}z_3\vert{} = \vert{}z_4\vert{} = 2$ . Có 3 nghiệm có môđun bằng $\displaystyle 2 \Rightarrow$ D sai.
Do có nghiệm $\displaystyle z_1 = 0$ nên tích tất cả các nghiệm $\displaystyle z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 \cdot z_4 = 0 \Rightarrow$ E đúng.
Vậy các khẳng định đúng là A, C, E.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi