Đăng nhập Đăng ký

ID: 34071

Nhận biết (M1)
Cho hình lập phương $\displaystyle ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $\displaystyle 20\text{ }\text{c}\text{m}$ . Giả sử hai chú kiến vàng và đen xuất phát cùng một lúc tại các vị trí $\displaystyle A$ và $\displaystyle D$ , kiến vàng đi thẳng từ $\displaystyle A$ đến $\displaystyle D'$ với vận tốc $\displaystyle 2\text{ }\text{c}\text{m}\text{/}\text{s}$ và kiến đen đi thẳng từ $\displaystyle D$ đến $\displaystyle B$ với vận tốc $\displaystyle 3\text{ }\text{c}\text{m}\text{/}\text{s}$ . Hỏi khoảng cách ngắn nhất giữa hai chú kiến là bao nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

`1`
Giải thích đáp án:
Đáp án: 11,7
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Lúc khó: $\displaystyle A\left ( { 0,0,0 } \right ),B\left ( { 20,0,0 } \right ),D\left ( { 0,20,0 } \right ),D′\left ( { 0,20,20 } \right )$
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\displaystyle AD′$ là $\displaystyle \overrightarrow{AD'}=\left ( { 0,20,20 } \right )$ và độ dài $\displaystyle \left | { \overrightarrow{AD'} } \right |=20\sqrt{2}$
Kiến vàng đi thẳng từ $\displaystyle A$ đến $\displaystyle D'$ với vận tốc $\displaystyle 2\text{ }\text{c}\text{m}\text{/}\text{s}$
⇒ Vectơ vận tốc kiến vàng: $\displaystyle \vec v_{1}=\frac{\overrightarrow{AD'}}{\left | { \overrightarrow{AD'} } \right |}.v_{1}=\left ( { 0;\sqrt{2};\sqrt{2} } \right )$
- Vectơ chỉ phương đường thẳng $\displaystyle DB$ là $\displaystyle \overrightarrow{DB}=\left ( { 20,-20,0 } \right )$ và độ dài $\displaystyle \left | { \overrightarrow{DB} } \right |=20\sqrt{2}$
Kiến đen đi thẳng từ $\displaystyle D$ đến $\displaystyle B$ với vận tốc $\displaystyle 3\text{ }\text{c}\text{m}\text{/}\text{s}$ .
⇒ Vectơ vận tốc kiến đen: $\displaystyle \vec v_{2}=\frac{\overrightarrow{BD}}{\left | { BD } \right |}.v_{2}=\left ( { \frac{3}{\sqrt{2}},-\frac{3}{\sqrt{2}},0 } \right )$
Gọi $\displaystyle t$ (giây) là thời gian kể từ lúc xuất phát.
* Vị trí kiến vàng tại thời điểm t là $\displaystyle M\left ( { t } \right )=\left ( { 0,\sqrt{2}t,\sqrt{2}t } \right )$
* Vị trí kiến đen tại thời điểm t là $\displaystyle N\left ( { t } \right )=\left ( { \frac{3}{\sqrt{2}}t,20-\frac{3}{\sqrt{2}}t,0 } \right )$
Khoảng cách giữa hai chú kiến là $\displaystyle MN$ và
$\displaystyle MN^{2}(t)\text{ }=\left ( { \frac{3}{\sqrt{2}}t } \right )^{2}+\left ( { 20-\frac{3}{\sqrt{2}}t-\sqrt{2}t } \right )^{2}+(\sqrt{2}t)^{2}=19t^{2}-100\sqrt{2}t+400$
Giá trị nhỏ nhất của $\displaystyle MN^{2}$ đạt được khi: $\displaystyle t=\frac{50\sqrt{2}}{19}$
Khi đó: $\displaystyle MN_{\min }=\sqrt{\frac{2600}{19}}≈11,7\left ( { \text{c}\text{m} } \right )$
Đáp án: 11,7

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi