Đăng nhập Đăng ký

ID: 33558

Vận dụng cao (M4)
Trong không gian với hệ tọa độ $\displaystyle Oxyz,$ cho ba điểm $\displaystyle A\left ( { 0;1;1 } \right )$ , $\displaystyle B\left ( { 3;0;-1 } \right )$ , $\displaystyle C\left ( { 0;21;-19 } \right )$ và mặt cầu $\displaystyle \left ( { S } \right ):\left ( { x-1 } \right )^{2}+\left ( { y-1 } \right )^{2}+\left ( { z-1 } \right )^{2}=1$ . Gọi điểm $\displaystyle M\left ( { a;b;c } \right )$ là điểm thuộc mặt cầu $\displaystyle \left ( { S } \right )$ sao cho biểu thức $\displaystyle T=3MA^{2}+2MB^{2}+MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $\displaystyle S=a+b+c$ .

Giải thích đáp án:
(VDC) Lời giải
Chọn B
Gọi điểm $\displaystyle K\left ( { x;y;z } \right )$ sao cho $\displaystyle 3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$ .
Ta có $\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \overrightarrow{KA}=\left ( { -x;1-y;1-z } \right ) \\ \overrightarrow{KB}=\left ( { 3-x;-y;-1-z } \right ) \\ \overrightarrow{KC}=\left ( { -x;21-y;-19-z } \right ) \end{array} \right .$ $\displaystyle ⇒\left \{ \begin{array}{l} -3x+2\left ( { 3-x } \right )-x=0 \\ 3\left ( { 1-y } \right )-2y+21-y=0 \\ 3\left ( { 1-z } \right )-2\left ( { 1+z } \right )-19-z=0 \end{array} \right .$ $\displaystyle ⇔\left \{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=4 \\ z=-3 \end{array} \right .⇒K\left ( { 1;4;-3 } \right )$ .
Khi đó $\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} 3MA^{2}=3\left ( { \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA} } \right )^{2}=3MK^{2}+6\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{KA}+3KA^{2} \\ 2MB^{2}=2\left ( { \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KB} } \right )^{2}=2MK^{2}+4\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{KB}+2KB^{2} \\ MC^{2}=\left ( { \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC} } \right )^{2}=MK^{2}+2\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{KC}+2KC^{2} \end{array} \right .$ .
$\displaystyle ⇒T=3MA^{2}+2MB^{2}+MC^{2}$ $\displaystyle =5MK^{2}+2\overrightarrow{MK}\left ( { 3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC} } \right )+\left ( { 3KA^{2}+2KB^{2}+KC^{2} } \right )$
$\displaystyle =5MK^{2}+\underbrace{\left ( { 3KA^{2}+2KB^{2}+KC^{2} } \right )}_{const}$ . Do đó $\displaystyle T_{\min }$ khi và chỉ khi $\displaystyle MK_{\min }$ .
Suy ra $\displaystyle M=IK∩\left ( { S } \right )$ và đồng thời $\displaystyle M$ nằm giữa $\displaystyle I$ và $\displaystyle K$ .
Ta có $\displaystyle \overrightarrow{IK}=\left ( { 0;3;-4 } \right )⇒IK:\left \{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=1+3t \\ z=1-4t \end{array} \right .$ . Suy ra toạ độ điểm $\displaystyle M$ thoả mãn:
$\displaystyle \left ( { 3t } \right )^{2}+\left ( { 4t } \right )^{2}=1⇔t=±\frac{1}{5}$ . Vì $\displaystyle M$ nằm giữa $\displaystyle I$ và $\displaystyle K$ nên $\displaystyle t=\frac{1}{5}$ và $\displaystyle M\left ( { 1;\frac{8}{5};\frac{1}{5} } \right )$ .
Vậy $\displaystyle S=a+b+c=1+\frac{8}{5}+\frac{1}{5}=\frac{14}{5}$ .
----HẾT---

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi