Đăng nhập Đăng ký

ID: 33557

Thông hiểu (M2)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho mặt cầu $\displaystyle \left ( { S } \right )$ có tâm $\displaystyle I\left ( { 1;\mkern1mu 2;\mkern1mu 3 } \right )$ và đi qua điểm $\displaystyle S\left ( { 0;\mkern1mu 4;\mkern1mu 1 } \right )$ . Xét khối nón $\displaystyle \left ( { N } \right )$ có đỉnh $\displaystyle S$ và nội tiếp trong khối cầu $\displaystyle \left ( { S } \right )$ . Khi diện tích xung quanh của hình nón $\displaystyle \left ( { N } \right )$ lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $\displaystyle \left ( { N } \right )$ có phương trình dạng $\displaystyle -x+by+cz+d=0$ . Giá trị của $\displaystyle b+c+2d$ bằng:

Giải thích đáp án:
Lời giải
Bán kính mặt cầu là $\displaystyle R=IS=3$ .
Diện tích xung quanh của hình nón $\displaystyle \left ( { N } \right )$ là $\displaystyle S=πrl$ .
Ta gọi $\displaystyle \left ( { P } \right )$ là mặt phẳng đi qua $\displaystyle I$ và vuông góc với $\displaystyle SI$ .
Hình nón $\displaystyle \left ( { N } \right )$ có diện tích xung quanh lớn nhất thì đỉnh của hình nón và đáy của hình nón phải ở hai phía so với mặt phẳng $\displaystyle \left ( { P } \right )$ .
Ta đặt bán kính đáy hình nón là $\displaystyle r=x$ với $\displaystyle x∈\left ( { 0;\mkern1mu 3 } \right ]$ và $\displaystyle H$ là tâm của đáy hình nón.
Tam giác $\displaystyle HIB$ vuông tại $\displaystyle H$ nên $\displaystyle IH=\sqrt{9-x^{2}}$ .
Chiều cao của nón là $\displaystyle h=3+\sqrt{9-x^{2}}$ .
Độ dài đường sinh của nón là $\displaystyle l=\sqrt{\left ( { 3+\sqrt{9-x^{2}} } \right )^{2}+x^{2}}=\sqrt{18+6\sqrt{9-x^{2}}}$ .
Diện tích xung quanh của hình nón là $\displaystyle S=πx\sqrt{18+6\sqrt{9-x^{2}}}$ .
Đặt $\displaystyle P=x\sqrt{18+6\sqrt{9-x^{2}}}⇒P^{2}=x^{2}\left ( { 18+6\sqrt{9-x^{2}} } \right )$ .
Ta đặt $\displaystyle t=\sqrt{9-x^{2}},\mkern1mu \mkern1mu t∈\left [ { 0;\mkern1mu \mkern1mu 3 } \right )$ . Khi đó $\displaystyle P^{2}=\left ( { 9-t^{2} } \right )\left ( { 18+6t } \right )$ với $\displaystyle t∈\left [ { 0;\mkern1mu 3 } \right )$ .
Ta xét hàm số $\displaystyle y=\left ( { 9-t^{2} } \right )\left ( { 18+6t } \right )⇔y=-6t^{3}-18t^{2}+54t+162$ .
$\displaystyle y'=-18t^{2}-36t+54=0⇔\left [ { \begin{array}{l} t=1 \\ t=-3 \end{array} } \right ..$
Bảng biến thiên của hàm số $\displaystyle y=\left ( { 9-t^{2} } \right )\left ( { 18+6t } \right ),\mkern1mu \mkern1mu \mkern1mu t∈\left [ { 0;\mkern1mu \mkern1mu 3 } \right )$ .
Từ bảng biến thiên ta được $\displaystyle P^{2}$ lớn nhất khi $\displaystyle t=1$ , do đó $\displaystyle P$ lớn nhất khi $\displaystyle t=1$ .
Mà $\displaystyle t=\sqrt{9-x^{2}}⇒\sqrt{9-x^{2}}=1⇔x=2\sqrt{2}$ .
Do đó $\displaystyle IH=\sqrt{9-\left ( { 2\sqrt{2} } \right )^{2}}=1$ và $\displaystyle IS=3⇒\overrightarrow{IS}=-3\overrightarrow{IH}$ .
$\displaystyle ⇒\left \{ \begin{array}{l} -1=-3\left ( { x_{H}-1 } \right ) \\ 2=-3\left ( { y_{H}-2 } \right ) \\ -2=-3\left ( { z_{H}-3 } \right ) \end{array} \right .⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{H}=\frac{4}{3} \\ y_{H}=\frac{4}{3} \\ z_{H}=\frac{11}{3} \end{array} \right .$ , do đó $\displaystyle H\left ( { \frac{4}{3};\mkern1mu \frac{4}{3};\mkern1mu \frac{11}{3} } \right )$ .
Mặt phẳng chứa đường tròn đáy đi qua điểm $\displaystyle H\left ( { \frac{4}{3};\mkern1mu \frac{4}{3};\mkern1mu \frac{11}{3} } \right )$ và có VTPT là $\displaystyle \overrightarrow{IS}=\left ( { -1;\mkern1mu 2;-2 } \right )$ , đo đó phương trình mặt phẳng là: $\displaystyle -1\left ( { x-\frac{4}{3} } \right )+2\left ( { y-\frac{4}{3} } \right )-2\left ( { z-\frac{11}{3} } \right )=0⇔-x+2y-2z+6=0$ .
Vậy $\displaystyle b+c+2d=12$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi