Đăng nhập Đăng ký

ID: 33553

Thông hiểu (M2)
Trong không gian với hệ tọa độ $\displaystyle Oxyz$ cho mặt phẳng $\displaystyle \left ( { Q } \right ):\mkern1mu \mkern1mu x-2y+z-5=0$ và mặt cầu $\displaystyle \left ( { S } \right ):\mkern1mu \left ( { x-1 } \right )^{2}+y^{2}+\left ( { z+2 } \right )^{2}=15$ . Mặt phẳng $\displaystyle \left ( { P } \right )$ song song với mặt phẳng $\displaystyle \left ( { Q } \right )$ và cắt mặt cầu $\displaystyle \left ( { S } \right )$ theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng $\displaystyle 6π$ đi qua điểm nào sau đây?

Giải thích đáp án:
Lời giải
Chọn D
Mặt cầu $\displaystyle \left ( { S } \right )$ có tâm $\displaystyle I\left ( { 1\mkern1mu ;\mkern1mu 0\mkern1mu ;\mkern1mu -2 } \right )$ và bán kính $\displaystyle R=\sqrt{15}$ .
Đường tròn có chu vi bằng $\displaystyle 6π$ nên có bán kính $\displaystyle r=\frac{6π}{2π}=3$ .
Mặt phẳng $\displaystyle \left ( { P } \right )$ song song với mặt phẳng $\displaystyle \left ( { Q } \right )$ nên phương trình mặt phẳng $\displaystyle \left ( { P } \right )$ có dạng:
$\displaystyle \mkern1mu x-2y+z+D=0$ , $\displaystyle D≠-5$ .
Vì mặt phẳng $\displaystyle \left ( { P } \right )$ cắt mặt cầu $\displaystyle \left ( { S } \right )$ theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng $\displaystyle 6π$ nên
$\displaystyle d\left ( { I\mkern1mu ;\mkern1mu \left ( { P } \right ) } \right )=\sqrt{R^{2}-r^{2}}⇔d\left ( { I\mkern1mu ;\mkern1mu \left ( { P } \right ) } \right )=\sqrt{6}$ $\displaystyle ⇔\frac{\left | { 1-2.0-2+D } \right |}{\sqrt{1^{2}+\left ( { -2 } \right )^{2}+1^{2}}}=\sqrt{6}⇔\left | { D-1 } \right |=6⇔\left [ { \begin{array}{l} D-1=6 \\ D-1=-6 \end{array} } \right .⇔\left [ { \begin{array}{l} D=7 \\ D=-5 \end{array} } \right .$ .
Đối chiếu điều kiện ta được $\displaystyle D=7$ . Do đó phương trình mặt phẳng $\displaystyle \left ( { P } \right ):\mkern1mu \mkern1mu x-2y+z+7=0$ .
Nhận thấy điểm có tọa độ $\displaystyle \left ( { -2\mkern1mu ;\mkern1mu 2\mkern1mu ;\mkern1mu -1 } \right )$ thuộc mặt phẳng $\displaystyle \left ( { P } \right )$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi