Đăng nhập Đăng ký

ID: 33502

Nhận biết (M1)
Một hộp chứa các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau gồm 5 bi trắng, 6 bi đỏ và 7 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp; trong đó có $\displaystyle x$ viên bi trắng, $\displaystyle y$ viên bi đỏ và $\displaystyle z$ viên bi xanh. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Phát biểu Đúng Sai
Xác suất chọn được 6 viên bi đủ ba màu, đồng thời ba số $\displaystyle x-y,y-z,z-x$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng là $\displaystyle \frac{40}{221}$ .
Xác suất chọn được ít nhất một viên bi màu xanh nhỏ hơn 0,95.
Xác suất chọn được 6 viên bi toàn màu xanh là $\displaystyle \frac{1}{2652}$ .
Xác suất chọn được ít nhất 5 viên bi màu xanh là $\displaystyle \frac{1}{78}$ .
Giải thích đáp án:
Số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ 18 viên là $\displaystyle n\left ( { Ω } \right )=C_{18}^{6}=18564$
a) Xét khẳng định a)
Theo đề: 6 viên bi đủ ba màu nên ta có điều kiện sau $\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \text{1}≤\textit{x}≤\text{5} \\ \text{1}≤\textit{y}≤\text{6} \\ \text{1}≤\textit{z}≤\text{7} \\ \textit{x}+\textit{y}+\textit{x}=\text{6} \end{array} \right .$
Ba số $\displaystyle x-y,y-z,z-x$ lập thành cấp số cộng nên
$\displaystyle y-z=\frac{\left ( { x-y } \right )+\left ( { z-x } \right )}{2}⇔$ $\displaystyle 2\left ( { y-z } \right )=-y+z⇔$ $\displaystyle 3y=3z⇒y=z$
Kết hợp hai điều kiện: $\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} x+y+z=6 \\ y=z \\ 1≤x≤5 \\ 1≤y≤6 \\ 1≤z≤7 \end{array} \right .⇒\left \{ \begin{array}{l} x+2y=6 \\ 1≤x≤5 \\ 1≤y≤6 \\ 1≤z≤7 \end{array} \right .$
Ta xét các cặp $\displaystyle \left ( { x,y } \right )$ nguyên dương:
Nếu $\displaystyle y=1⇒x=6-2.1=4$ . Cặp $\displaystyle \left ( { x,y,z } \right )=\left ( { 4,1,1 } \right )$ .
Nếu $\displaystyle y=2⇒x=6-2.2=2$ . Cặp $\displaystyle \left ( { x,y,z } \right )=\left ( { 2,2,2 } \right )$ .
Nếu $\displaystyle y=3⇒x=6-2.3=0$ . (Loại do $\displaystyle x≥1$ )
Các trường hợp thỏa mãn:
1. $\displaystyle \left ( { x,y,z } \right )=\left ( { 4,1,1 } \right )$ : 4 trắng, 1 đỏ, 1 xanh.
Số cách chọn: $\displaystyle C_{5}^{4}⋅C_{6}^{1}⋅C_{7}^{1}=5⋅6⋅7=210$
2. $\displaystyle \left ( { x,y,z } \right )=\left ( { 2,2,2 } \right )$ : 2 trắng, 2 đỏ, 2 xanh.
Số cách chọn: $\displaystyle C_{5}^{2}⋅C_{6}^{2}⋅C_{7}^{2}=10⋅15⋅21=3150$
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $\displaystyle n\left ( { A } \right )=210+3150=3360$
Xác suất biến cố $\displaystyle \textit{A}$ là: $\displaystyle P\left ( { A } \right )=\frac{n\left ( { A } \right )}{n\left ( { Ω } \right )}=\frac{3360}{18564}=\frac{40}{221}$
Vậy Khẳng định a) ĐÚNG.
b) Xét khẳng định b)
Biến cố B: Chọn được ít nhất một viên bi màu xanh.
Biến cố đối $\displaystyle \bar B$ : Không chọn được viên bi màu xanh nào (6 viên đều là trắng hoặc đỏ).
Tổng số bi trắng và đỏ: $\displaystyle 5+6=11$ viên.
$\displaystyle n\left ( { \overline{B} } \right )=C_{11}^{6}=462$
Xác suất $\displaystyle P\left ( { \bar B } \right )$ là $\displaystyle P\left ( { \bar B } \right )=\frac{n\left ( { \overline{B} } \right )}{n\left ( { Ω } \right )}=\frac{462}{18564}$
Xác suất $\displaystyle P\left ( { B } \right )$ là $\displaystyle P\left ( { B } \right )=1-P\left ( { \bar B } \right )=1-\frac{462}{18564}≈0,97512$
Ta thấy $\displaystyle P\left ( { B } \right )≈0,97512>0,95$ .
Vậy khẳng định b) SAI.
c) Xét khẳng định c)
Biến cố C: Chọn được 6 viên bi toàn màu xanh.
$\displaystyle n\left ( { C } \right )=C_{7}^{6}=7$
Xác suất $\displaystyle P\left ( { C } \right )$ : $\displaystyle P\left ( { C } \right )=\frac{n\left ( { C } \right )}{n\left ( { Ω } \right )}=\frac{7}{18564}=\frac{1}{2652}$
Vậy khẳng định c) ĐÚNG.
d) Xét khẳng định d)
Biến cố D: Chọn được ít nhất 5 viên bi màu xanh.
Biến cố này gồm 2 trường hợp:
Trường hợp 1: 5 viên xanh và 1 viên (trắng hoặc đỏ) (từ $\displaystyle 5+6=11$ viên).
$\displaystyle C_{7}^{5}⋅C_{11}^{1}=21⋅11=231$ cách
Trường hợp 2: 6 viên xanh và 0 viên (trắng hoặc đỏ).
$\displaystyle C_{7}^{6}⋅C_{11}^{0}=7⋅1=7$ cách
Số kết quả thuận lợi cho biến cố D là $\displaystyle 231+7=238$
Xác suất $\displaystyle P\left ( { D } \right )$ là $\displaystyle P\left ( { D } \right )=\frac{n\left ( { D } \right )}{n\left ( { Ω } \right )}=\frac{238}{18564}=\frac{1}{78}$
Vậy khẳng định d) ĐÚNG.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi